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SOLUCIÓN

PROBLEMA DE LA SEMANA

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Cien Problemas de Olimpiadas Matemáticas
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PROBLEMA 1

Dibujando varias formas de cuadriláteros convéncete que la figura que se forma es un paralelogramo. En todo paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes y por lo tanto si uno de los ángulos es recto, el opuesto también lo es. Solo te resta establecer que uno de los ángulos restante es recto.

PROBLEMA 2

Basta multiplicar ambas ecuaciones por 2 y sumarlas.

PROBLEMA 3

Aplica el Teorema del Binomio.

PROBLEMA 4

Basta que calcules el área de cuadrado y le restes  el área de un cuarto del círculo. La alternativa correcta es la (c).

PROBLEMA 5

El triángulo es equilátero y la altura mide . La respuesta correcta es la alternativa (e).

PROBLEMA 6

Basta observar la letra con que inicia el nombre de cada número.

PROBLEMA 7

Nota que si m es par, cualquier potencia será par. Si m es impar cualquier potencia será impar. Si m y n son pares, la suma de las potencias es impar.

Si m y n son impares, la suma de las potencias es impar. Si m y n tienen distinta paridad, la suma es par.                               

PROBLEMA 8

Usa la definición de logaritmo. La respuesta correcta es la alternativa (e).

PROBLEMA 9

El día de la semana es el Martes.

PROBLEMA 10

La respuesta correcta es la alternativa (c).

PROBLEMA 11

Basta notar que los triángulos son isósceles. Obtén la medida de las bases de cada uno. La respuesta correcta es la alternativa (d).

PROBLEMA 12

Suma los números de 1 a 12. Esta suma es 78. Como marcó 1 en la caja equivocada, la alternativa correcta es la (c).

PROBLEMA 13

Observa que el segundo término de la progresión aritmética es 5. Súmale a cada término de la progresión aritmética los números 1, 4 y 19 y utiliza que el cuadrado del segundo término es el producto del primer y tercer término. Se obtiene una ecuación de segundo grado, en términos de la diferencia común, cuyas raíces son -21 y 3. Las progresiones son:  2, 5, 8 y  26, 5, -16.

PROBLEMA 14

Sea x el salario diario. Entonces,

Multiplica esta expresión por 40 e iguálala a 360. Determinarás que el salario diario es B/. 54. Por lo cual, el gasto diario en alimentación es B/.27.   La respuesta correcta es la alternativa (d).

PROBLEMA 15

El área de un rombo es el semiproducto de las longitudes de sus diagonales.  Denotemos por 2x e 2y las longitudes de las diagonales. Luego,

De estas dos igualdades se obtiene que

PROBLEMA 16

Haga uso del hecho que el área de un triángulo es el producto del radio de la circunferencia inscrita por el perímetro del mismo. Para determinar el perímetro note que en todo triángulo rectángulo, la altura a la hipotenusa es la media geométrica de los dos segmentos en que se separa la hipotenusa.

PROBLEMA 17

Como son 6 vueltas, la circunferencia de la rueda mide 1/3 de la longitud de la cuerda.

PROBLEMA 18

Basta observar:

Por lo tanto,

PROBLEMA 19

Sea x el número de respuestas correctas. Entonces  40 - x  es el número de respuestas incorrectas. La ecuación a resolver es por lo tanto:

Se deduce que x = 28. La respuesta correcta es la alternativa (d).

PROBLEMA 20

Nota que 8 esmeraldas equivalen a 1 diamante y 10 esmeraldas equivalen a 25 amatistas.  Por lo tanto, 100 amatistas se intercambian por 40 esmeraldas o 5 diamantes. La respuesta corecta es la alternativa (b).

PROBLEMA 21

Sean

 

las longitudes de los catetos y la hipotenusa, respectivamente. Entonces las siguientes ecuaciones nos dan la relación entre ellos.

Se deduce que

Por consiguiente las medidas de los catetos pueden obtenerse resolviendo la ecuación de segundo grado

La respuesta correcta es la alternativa (a).

PROBLEMA 22

Observe que el triángulo A'BC' es equilátero. La longitud del lado del triángulo A'BC'  puede obtenerse en términos de su altura ya que al trazar la altura desde el vértice B hasta el lado determinado por los puntos A' y C', se obtiene un triángulo 30-60-90. Como el area del círculo y la del triángulo son iguales se deduce que la altura es igual a

PROBLEMA 23

Basta observar que la forma de la funció lineal es:

Resolviendo el sistema de ecuaciones que resulta al evaluar la función en los valores dados, se obtiene que:

PROBLEMA 24

Considere la  figura y asuma que el cuadrado pequeño es unitario. El lado del cuadrado grande mide . Se deduce que la razón de las áreas es 2. La respuesta correcta es la alternativa (a).