Página principal

PROBLEMA DE LA SEMANA

Presentaremos un problema cada semana para que practiques. Si cuentas con una solución diferente a la presentada, por favor envíala a lyburgoa@yahoo.com. Igualmente si tienes un problema que consideras interesante, hazlo llegar por esta misma vía y de calificar, será publicado en esta página.

Ya está a la venta el libro
Cien Problemas de Olimpiadas Matemáticas.
Contiene problemas y soluciones, útil como material de entrenamiento y fuente de trabajo en el aula.
Precio: B/ 5.00.
Adquieralo en el Departamento de Matemática o en las Sedes de la OPM de su región.

Problema 1: Primer Nivel (semana del 5 al 11 de enero )

Considérese un cuadrilátero ABCD y los puntos medios de los segmentos que lo conforman. Una los puntos medios y asuma que en la figura resultante uno de los ángulos es recto. ¿Qué podemos decir de los otros tres ángulos?

Problema 2: Nivel Intermedio (semana del 12 al 18 de enero )

Si y entonces sin resolver el sistema,

Problema 3: Nivel Superior (semana del 19 al 25 de enero )

Sea x un número real positivo y n un número natural. Establezca que

Problema 4: Nivel Intermedio (semana del 26 de enero al 1 de febrero )

En la figura, el lado del cuadrado mide 8cm. La circunferencia pasa por el punto medio de la diagonal del cuadrado. El área de la región no sombreada es:

a) b) c) d) e)

Problema 5: Nivel Intermedio (semana del 2 al 8 de febrero)

Si O es el centro de la circunferencia, el área del triángulo en la figura es:

a) b) c) 9 d)

Problema 6: Nivel Superior (semana del 9 al 15 de febrero)

¿Por qué están escritos los siguientes dígitos en ese orden?

0, 5, 4, 2, 9, 8, 6, 7, 3,1

Problema 7: Primer Nivel (semana del 16 al 22 de febrero)

Sean m y n números naturales. Entonces

es:

a) Par, si m y n son pares	b) Par, si n es impar
c) Par, si n es par	d) Impar, si m y n son pares
e) Impar, si m y n tienen diferente paridad.

Problema 8: Nivel Superior (semana del 23 de febrero al 1 de marzo)

Si , el valor de es:

a) 1/8 b) -(1/2) c) 1/4 d) -(1/4) e) 1/2

Problema 9: Primer Nivel (semana del 2 al 8 de marzo)

Roberto miente los días miércoles, jueves y viernes y dice la verdad el resto de los días de la semana. Enrique miente domingo, lunes y martes y dice la verdad el resto de los días de la semana. Si ambos dicen "mañana es un día en el cual yo miento", ¿qué día de la semana es?

Problema 10: Nivel Intermedio (semana del 9 al 15 de marzo)

¿Cuántos números menores que cien hay que al ser divididos por 23 dan un cociente igual al residuo?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Problema 11: Nivel Intermedio (semana del 16 al 22 de marzo)

En la figura, el cuadrado IJKL se obtuvo uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado EFGH el cual a su vez se obtuvo uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado ABCD. Si AB = 24 cm, entonces el lado del cuadrado IJKL mide en centimétros:

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16

Problema 12: Primer Nivel (semana del 23 al 29 de marzo)

Un señor enumera y almacena 12 cajas. En una caja se equivoca y en lugar del número correspondiente coloca un 1, de modo que los números marcados en las cajas suman 71. Se equivocó marcando la caja correspondiente al número:

a) 12 b) 10 c) 8 d) 7 e) 1

Problema 13: Nivel Superior (semana del 30 de marzo al 5 de abril)

La suma de los tres números que forman una progresión aritmética es igual 15. Si 1, 4 y 19 se suman respectivamente a ellos, se obtendrán tres números que forman una progresión geométrica. Encontrarlos.

Problema 14: Nivel Intermedio (semana del 6 al 12 de abril)

El señor X gana por día el doble de lo que gasta diariamente en alimentos y el triple de lo que gasta diariamente en otras obligaciones. si al cabo de 40 días ha ahorrado B/. 360, el gasto diario en alimentación es :

a) B/. 54 b) B/. 9 c) B/. 18 d) B/. 27 e) B/. 24

Problema 15: Nivel Intermedio (semana del 13 al 19 de abril)

El perímetro de un rombo es 34 cm. y la suma de las longitudes de sus diagonales es 25 cm. Encuentre el área del rombo.

Problema 16: Nivel Superior (semana del 20 al 26 de abril)

Dado un triángulo rectángulo, determinar el área del círculo inscrito en él, sabiendo que la altura sobre la hipotenusa la divide en dos segmentos de longitud 25.6 cm y 14.4 cm.

Problema 17: Primer Nivel (semana del 27 de abril al 3 de mayo)

Un equilibrista de un circo debe ir de un punto a otro y luego regresar al punto inicial montado en una rueda que se desplaza sobre una cuerda tensa entre dos postes. Si en todo el recorrido la rueda da 6 vueltas, cuánto mide la circunferencia de la rueda en términos de la longitud de la cuerda.

Problema 18: Nivel Superior (semana del 4 al 10 de mayo)

Se define la función f por:

entonces, f(2003) es igual a:

a) (2002)(2001) b) (2003)(2002) c) 2002 d) 2002! e) 2003!

Problema 19: Nivel Intermedio (semana del 11 al 17 de mayo)

María debe contestar 40 preguntas y su madre le ofrece 50 centavos por cada pregunta que conteste correctamente. Pero, María pagará un balboa por cada respuesta incorrecta. Después de constestar todas las preguntas, María recibe de su madre dos balboas. ¿Cuántas preguntas contestó correctamente?

a) 25 b) 26 c) 27 d) 28) e) 29

Problema 20: Primer Nivel (semana del 18 al 24 de mayo)

En un puesto de trueque de piedras preciosas, 800 esmeraldas se intercambian por 100 diamantes y 100 esmeraldas por 250 amatistas. ¿Cuántos diamantes se intercambian por 100 amatistas?

a) 2 b) 5 c) 10 d) 25 e) 50

Problema 21: Nivel Superior (semana del 25 al 31 de mayo)

El perímetro de un triángulo rectángulo es 132 cm y la suma de los cuadrados de los lados es 6050 cm. El cateto mayor mide en cm:

a) 44 b) 55 c) 77 d) 33 e) 60

Problema 22: Nivel Intermedio (semana del 1 al 7 de junio)

Considerese la figura adjunta. El triángulo ABC es equilátero, el círculo que tiene su centro sobre el segmento determinado por los puntos A y C, es tangente a las rectas determinadas por los puntos A y B ; B y C y tiene radio 2. El triángulo A'BC' tiene igual área que el círculo y

Encuentre la altura del triángulo A'BC'

Problema 23: Nivel Superior (semana del 8 al 14 de junio). Problema Propuesto por: Irving Urieta Rodríguez

Sea f una función lineal tal que

f(-1) =2 y f(2) = -3.

Encuentre f(5).

Problema 24: Primer Nivel (semana del 8 al 14 de junio).

Supongamos que el lado de un cuadrado es la diagonal de un segundo cuadrado. La razón entre el área del primer cuadrado y la del segundo cuadrado es:

a) 2 b) c) 1/2 d) e) 4

Problema 25: Nivel Intermedio (semana del 15 al 21 de junio).

Se pide a un estudiante que multiplique 78 por un número de dos cifras en el que la cifra de las decenas es tres veces mayor que la de las unidades. Por error, intercambia los dígitos en este factor y obtiene un número que es 2808 unidades menor que el producto buscado. ¿Cuál es el producto buscado?

Problema 26: Nivel Superior (semana del 22 al 28 de junio).

Una progresión aritmética tiene 20 términos. La suma de los términos que ocupan lugares pares es 250 y la suma de los términos que ocupan lugares impares es 220. ¿Cual es el décimo término de la progresión?

A todos los jóvenes competidores les deseamos éxitos en la Olimpiada del Centenario.

SOLUCIONES